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Work Step by Step
Assume $x=(x_1,x_2)\\
y=(y_1,y_2)\\
c\in R$
$T(A+B)=A+B+(A+B)^T\\
=A+B+A^T+B^T\\
=A+A^T+B+B^T\\
=T(A)+T(B)$
$T(cA)=cA+(cA)^T\\
=cA+cA^T\\
=c(A+A^T)\\
=cT(A)$
Hence, $T$ is a linear transformation
Obtain: $Ker(T)=\{A \in M_2(R):T (A)=0\}\\
=\{\begin{bmatrix}
a & b\\ c & d
\end{bmatrix} \in M_2(R): T(\begin{bmatrix}
a & b\\ c & d
\end{bmatrix} )=0\}\\
=\{\begin{bmatrix}
a & b\\ c & d
\end{bmatrix} \in M_2(R): \begin{bmatrix}
a & b\\ c & d
\end{bmatrix} +\begin{bmatrix}
a & b\\ c & d
\end{bmatrix} ^T=\begin{bmatrix}
0 & 0\\ 0 & 0
\end{bmatrix} \\
=\{(\begin{bmatrix}
a & b\\ c & d
\end{bmatrix} \in M_2(R):\begin{bmatrix}
a & b\\ c & d
\end{bmatrix} +\begin{bmatrix}
a & c\\ b & d
\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}
0 & 0\\ 0 & 0
\end{bmatrix} \}\\
=\{\begin{bmatrix}
a & b\\ c & d
\end{bmatrix} \in M_2(R):\begin{bmatrix}
2a & b+c\\ b+c & 2d
\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}
0 & 0\\ 0 & 0
\end{bmatrix} \}\\
\rightarrow a=d=0,c=-b\\
\rightarrow Ker(T)=\{\begin{bmatrix}
0 & b\\ -b & 0
\end{bmatrix} \in M_2(R)\}=\{b \begin{bmatrix}
0 & 1\\ -1 & 0
\end{bmatrix} \in M_2(R)\}=span \{\begin{bmatrix}
0 & 1\\ -1 & 0
\end{bmatrix} \}\\
\rightarrow \dim Ker(T)=1$
then $\dim [Ker(T)]=1 \ne \{0\}$
$T$ is not one-to-one
Apply Rank Nullity Theorem:
$\dim [Ker(T)]+\dim [Rng(T)]=\dim M_2(R)\\
1+\dim [Rng(T)]=4\\
\dim [Rng(T)]=3$
Since $\dim [Rng(T)]=3 \ne 4=\dim M_2(R)$,
hence, $T$ is onto.
Consequently, $Rng(T)=\{T(A):A \in M_2(R)\}\\
=\{T(\begin{bmatrix}
a & b\\ c & d
\end{bmatrix} ):\begin{bmatrix}
a & b\\ c & d
\end{bmatrix} \in M_2(R)\}\\
=\{\begin{bmatrix}
2a & b+c\\ b+c & 2d
\end{bmatrix} :a,b,c,d \in R\}\\
=\{\begin{bmatrix}
2a & 0\\ 0 & 0
\end{bmatrix} +\begin{bmatrix}
0 & b\\ 0 & 0
\end{bmatrix} +\begin{bmatrix}
0 & c\\ c & 0
\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}
0 & 0\\ 0 & 2d
\end{bmatrix} : a,b,c,d \in R\}\\
=\{\begin{bmatrix}
2a & b+c\\ b+c & 2d
\end{bmatrix} :a,b,c,d \in R\}\\
=\{a\begin{bmatrix}
2 & 0\\ 0 & 0
\end{bmatrix} +b\begin{bmatrix}
0 & 1\\ 1 & 0
\end{bmatrix} +c\begin{bmatrix}
0 & 1\\ 1 & 0
\end{bmatrix}+d\begin{bmatrix}
0 & 0\\ 0 & 2
\end{bmatrix} : a,b,c,d \in R\}\\
=span \{\begin{bmatrix}
2a & b+c\\ b+c & 2d
\end{bmatrix} :a,b,c,d \in R\}\\
=span\{\begin{bmatrix}
2 & 0\\ 0 & 0
\end{bmatrix} ,\begin{bmatrix}
0 & 1\\ 1 & 0
\end{bmatrix} ,\begin{bmatrix}
0 & 1\\ 1 & 0
\end{bmatrix},\begin{bmatrix}
0 & 0\\ 0 & 2
\end{bmatrix} \}\\
=span\{\begin{bmatrix}
2 & 0\\ 0 & 0
\end{bmatrix} ,\begin{bmatrix}
0 & 1\\ 1 & 0
\end{bmatrix} ,\begin{bmatrix}
0 & 0\\ 0 & 2
\end{bmatrix} \}$
Basic for $Rng(T)$ is $\{\begin{bmatrix}
2 & 0\\ 0 & 0
\end{bmatrix} ,\begin{bmatrix}
0 & 1\\ 1 & 0
\end{bmatrix} ,\begin{bmatrix}
0 & 0\\ 0 & 2
\end{bmatrix} \}$
