Answer
See below
Work Step by Step
We have: $S^{-1}AS=J_\lambda$
$\rightarrow AS=SJ_\lambda \\
\rightarrow A\begin{bmatrix}
v_1,v_2
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
v_1,v_2
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
\lambda & 1\\
0 & \lambda
\end{bmatrix} \\
\rightarrow \begin{bmatrix}
Av_1, Av_2
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
\lambda v_1,v_1+\lambda v_2
\end{bmatrix} \\
\rightarrow Av_1=\lambda v_1\\
Av_2=v_1+\lambda v_2 \\
\rightarrow (A-\lambda)v_1=0\\
(A-\lambda)v_2=v_1$
