Answer
(a)
$$ X(s) =\frac{3}{2}\left(\frac{1}{s}-\frac{1}{s+4}\right) $$
$$ x(t) =\frac{3}{2}\left(1-e^{-4 t}\right) $$
(b)
$$ X(s) =\frac{5}{3} \frac{1}{s}+\frac{31}{3} \frac{1}{s+3} $$
$$ x(t) =\frac{5}{3}+\frac{31}{3} e^{-3 t} $$
(c)
$$ X(s)=-\frac{1}{3} \frac{1}{s+2}+\frac{13}{3} \frac{1}{s+5} $$
$$ x(t)=-\frac{1}{3} e^{-2 t}+\frac{13}{3} e^{-5 t} $$
(d)
$$ X(s)=\frac{5 / 2}{s^{2}(s+4)}= \frac{5}{8} \frac{1}{s^{2}}-\frac{5}{32} \frac{1}{s}+\frac{5}{32} \frac{1}{s+4} $$
$$ x(t)=\frac{5}{8} t-\frac{5}{32}+\frac{5}{32} e^{-4 t} $$
(e)
$$X(s)=\frac{2}{5} \frac{1}{s^{2}}+\frac{13}{25} \frac{1}{s}-\frac{13}{25} \frac{1}{s+5}$$
$$x(t)=\frac{2}{5} t+\frac{13}{25}-\frac{13}{25} e^{-5 t}$$
(f)
$$X(s)=-\frac{31}{4} \frac{1}{(s+3)^{2}}+\frac{79}{16} \frac{1}{s+3}-\frac{79}{16} \frac{1}{s+7}$$
$$x(t)=-\frac{31}{4} t e^{-3 t}+\frac{79}{16} e^{-3 t}-\frac{79}{16} e^{-7 t}$$
Work Step by Step
(a)
$$ X(s) =\frac{3}{2}\left(\frac{1}{s}-\frac{1}{s+4}\right) $$
$$ x(t) =\frac{3}{2}\left(1-e^{-4 t}\right) $$
(b)
$$ X(s) =\frac{5}{3} \frac{1}{s}+\frac{31}{3} \frac{1}{s+3} $$
$$ x(t) =\frac{5}{3}+\frac{31}{3} e^{-3 t} $$
(c)
$$ X(s)=-\frac{1}{3} \frac{1}{s+2}+\frac{13}{3} \frac{1}{s+5} $$
$$ x(t)=-\frac{1}{3} e^{-2 t}+\frac{13}{3} e^{-5 t} $$
(d)
$$ X(s)=\frac{5 / 2}{s^{2}(s+4)}= \frac{5}{8} \frac{1}{s^{2}}-\frac{5}{32} \frac{1}{s}+\frac{5}{32} \frac{1}{s+4} $$
$$ x(t)=\frac{5}{8} t-\frac{5}{32}+\frac{5}{32} e^{-4 t} $$
(e)
$$X(s)=\frac{2}{5} \frac{1}{s^{2}}+\frac{13}{25} \frac{1}{s}-\frac{13}{25} \frac{1}{s+5}$$
$$x(t)=\frac{2}{5} t+\frac{13}{25}-\frac{13}{25} e^{-5 t}$$
(f)
$$X(s)=-\frac{31}{4} \frac{1}{(s+3)^{2}}+\frac{79}{16} \frac{1}{s+3}-\frac{79}{16} \frac{1}{s+7}$$
$$x(t)=-\frac{31}{4} t e^{-3 t}+\frac{79}{16} e^{-3 t}-\frac{79}{16} e^{-7 t}$$
