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Given:
$y(t)=c_1\cos(\omega t)+c_2\sin(\omega t)\\
y'(t)=-c_1\omega \sin(\omega t)+c_2\omega \cos(\omega t)\\
y''(t)=-c_1\omega^2 \cos(\omega t)-c_2\omega^2 \sin(\omega t)$
Therefore,
$y''(t)+\omega^2 y(t)=-c_1\omega^2 \cos(\omega t)-c_2\omega^2 \sin(\omega t)+c_1\omega^2 \cos(\omega t)+c_2\omega^2 \sin(\omega t)=0$
Therefore $A\cos(\omega t-\phi)=c_1\cos(\omega t)+c_2(\omega t)\\
\Rightarrow A\cos (\omega t) \cos (\phi)+A\sin (\omega t)\sin (\phi)=c_1\cos (\omega t)+c_2\sin (\omega t)\\
\Rightarrow \frac{A\cos(\omega t)\cos(\phi)+A\sin(\omega t)\sin (\phi)}{\cos(\omega t)+\sin(\omega t)}=c_1+c_2\\
\Rightarrow A\cos(\phi)+A\sin(\phi)=c_1+c_2\\
\Rightarrow c_1=A\cos(\phi)\\
\Rightarrow c_2=A\sin(\phi)$
Find A: $c_1^2+c_2^2=A^2(\cos^2(\phi)+\sin^2(\phi))\\
\Rightarrow c_1^2+c_2^2=A^2\\
\Rightarrow A=\sqrt c_1^2+c_2^2$
