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a) Obtain $T(\begin{bmatrix}
1 & 0\\
0 & 0
\end{bmatrix})=\begin{bmatrix}
2 & 0\\
0 & 0
\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}
1 & 0\\
0 & 0
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
1 & 0\\
0 & 0
\end{bmatrix}\\ T(\begin{bmatrix}
0 & 1\\
0 & 0
\end{bmatrix})=\begin{bmatrix}
0 & 2\\
0 & 0
\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}
0 & 0\\
1 & 0
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
0& 2\\
-1 & 0
\end{bmatrix} \\ T(\begin{bmatrix}
0 & 0\\
1& 0
\end{bmatrix})=\begin{bmatrix}
0 & 0\\
2 & 0
\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}
0 & 1\\
0 & 0
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
0 & -1\\
2 & 0
\end{bmatrix} \\ T(\begin{bmatrix}0 & 0\\
0 & 1
\end{bmatrix})=\begin{bmatrix}
0 & 0\\
0 & 2
\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}
0 & 0\\
0 & 1
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
0& 0\\
0 & 1
\end{bmatrix}$
then we have:
$T(E_{11})=\begin{bmatrix}
1 & 0\\
0 & 0
\end{bmatrix}=1.E_{11}+0.E_{12}+0.E_{21}+0.E_{22}\\
T(E_{12})=\begin{bmatrix}
0 & 2\\
-1 & 0
\end{bmatrix}=0.E_{11}+2.E_{12}-1.E_{21}+0.E_{22}\\
T(E_{21})=\begin{bmatrix}
1 & -1\\
2 & 0
\end{bmatrix}=0.E_{11}-1.E_{12}+2.E_{21}+0.E_{22}\\
T(E_{22})=\begin{bmatrix}
0 & 0\\
0 & 1
\end{bmatrix}=0.E_{11}+0.E_{12}+0.E_{21}+1.E_{22}$
as $[T(E_{11})]_C=\begin{bmatrix}
1\\
0 \\ 0 \\ 0
\end{bmatrix}\\
[T(E_{12})]_C=\begin{bmatrix}
0 \\ 2 \\ -1 \\ 0
\end{bmatrix} \\
[T(E_{21})]_C=\begin{bmatrix}
0 \\ -1 \\ 2 \\ 0
\end{bmatrix} \\ [T(E_{22})]_C=\begin{bmatrix}
0 \\ 0 \\ 0 \\ 1
\end{bmatrix}$
Hence, $[T]_B^C=\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 2 & -1 & 0 \\ 0 & -1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1\end{bmatrix}$
b) Obtain $T(\begin{bmatrix}
-1 & -2\\
-2 & -3
\end{bmatrix})=\begin{bmatrix}
-2 & -4\\
-4 & -6
\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}
-1 & -2\\
-2 & -3
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
-1 & -2\\
-2 & -3
\end{bmatrix}\\ T(\begin{bmatrix}
1 & 1\\
2 & 2
\end{bmatrix})=\begin{bmatrix}
2 & 2\\
4 & 4
\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}
1 & 2\\
1 & 2
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
1& 0\\
3 & 2
\end{bmatrix} \\ T(\begin{bmatrix}
0 & -3\\
2& -2
\end{bmatrix})=\begin{bmatrix}
0 & -6\\
4 & -4
\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}
0 & 2\\
-3 & -2
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
0 & -8\\
7 & -2
\end{bmatrix} \\ T(\begin{bmatrix}0 & 4\\
1 & 0
\end{bmatrix})=\begin{bmatrix}
0 & 8\\
2 & 0
\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}
0 & 1\\
4 & 0
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
0& 7\\
-2 & 0
\end{bmatrix}$
then we have:
$T(\begin{bmatrix}
-1 & -2\\
-2 & -3
\end{bmatrix})=\begin{bmatrix}
-1 & -2\\
-2 & -3
\end{bmatrix}=-1.E_{11}-2.E_{12}-2.E_{21}-3.E_{22}\\
T(\begin{bmatrix}
1 & 1\\
2 & 2
\end{bmatrix})=\begin{bmatrix}
1 & 0\\
3 & 2
\end{bmatrix}=1.E_{11}+0.E_{12}+3.E_{21}+2.E_{22}\\
T(\begin{bmatrix}
0 & -3\\
2 & -2
\end{bmatrix})=\begin{bmatrix}
0 & -8\\
7 & -2
\end{bmatrix}=0.E_{11}-8.E_{12}+7.E_{21}-2.E_{22}\\
T(\begin{bmatrix}
0 & 4\\
1 & 0
\end{bmatrix})=\begin{bmatrix}
0 &7\\
-2 & 0
\end{bmatrix}=0.E_{11}+7.E_{12}-2.E_{21}+0.E_{22}$
as $[T(\begin{bmatrix}
-1 & -2 \\
-2 & -3
\end{bmatrix})]_C=\begin{bmatrix}
-1\\
-2 \\ -2 \\ -3
\end{bmatrix}\\
[T(\begin{bmatrix}
1 & 1\\
2 & 2
\end{bmatrix})]_C=\begin{bmatrix}
1 \\ 0 \\ 3 \\ 2
\end{bmatrix} \\
[T(\begin{bmatrix}
0 & -3\\
2 & -2
\end{bmatrix})]_C=\begin{bmatrix}
0 \\ -8 \\ 7 \\ -2
\end{bmatrix} \\ [T(\begin{bmatrix}
0 & 4\\
1 & 0
\end{bmatrix})]_C=\begin{bmatrix}
0 \\ 7 \\ -2 \\ 0
\end{bmatrix}$
Hence, $[T]_B^C=\begin{bmatrix}
-1 & 1 & 0 & 0 \\
-2 & 0 & -8 & 7 \\-2 & 3 & 7 & -2 \\ -3 & 2 & -2 & 0\end{bmatrix}$
