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1. Find eigenvalues:
(A-$\lambda$I)$\vec{V}$=$\vec{0}$
$\begin{bmatrix}
1-\lambda & 2\\
2 & 1-\lambda
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
v_1\\
v_2
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
0\\
0
\end{bmatrix}$
$\begin{bmatrix}
1-\lambda & 2\\
2 & 1-\lambda
\end{bmatrix}=0$
$(1- \lambda)(1-\lambda)-4=0$
$(\lambda-1)^2-4=0$
$\lambda_1=-1, \lambda_2=3$
2. Find eigenvectors:
For $\lambda=-1$
let $B=A-\lambda_1I$
$B=\begin{bmatrix}
1-\lambda & 2\\
2 & 1-\lambda
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
2 & 2\\
2 & 2
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
v_1\\
v_2
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
0\\
0
\end{bmatrix} \\
\rightarrow v_1+v_2=0$
Let $r$ be a free variable.
$\vec{V}=r(-1,1) \\
E_1=\{(-1,1)\}
\rightarrow dim(E_1)=1$
The eigenvectors span $\{-1,1)\}$ in $R$
For $\lambda=0$
let $B=A-\lambda_1I$
$B=\begin{bmatrix}
1-\lambda & 2\\
2 & 1-\lambda
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
-2 & 2 \\
2& -2
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
v_1\\
v_2
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
0\\
0
\end{bmatrix} \\
\rightarrow v_1-v_2=0$
Let $s$ be a free variable.
$\vec{V}=r(1,1) \\
E_2=\{(1,1)\}
\rightarrow dim(E_2)=1$
The eigenvectors span $\{(1,1)\}$ in $R$
Hence, $S=\frac{1}{\sqrt 13}\begin{bmatrix}
-1 & 1\\
1 & 1
\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}
-\frac{1}{\sqrt 2} & \frac{1}{\sqrt 2}\\
\frac{1}{\sqrt 2} & \frac{1}{\sqrt 2}
\end{bmatrix} $
