Answer
$X=1 \;\;\;and\;\;\; X=5$
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The elements of $\;\mathbb{Z}_{8}\;$ are 0,1,2,3,4,5,6,7
So, if there is a solution for this equation, then x is one of these numbers.
$If \;\;x=0\\
\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;6.(0)+3=1 \; {\color{Red}\rightarrow } \;\; 0+3= 1\;\;{\color{Red} \Rightarrow }\;\;3\neq 1\\
so \;\;0 \;is \;not \;solution\\\\
If \;x=1\\
\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;6.(1)+3=1 \; {\color{Red}\rightarrow } \;\; 6+3= 1\;\;{\color{Red} \Rightarrow }\;\;1= 1\\
so\; 1\; is\; SOLUTION.\\\\
If\;x=2\\
\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;6.(2)+3=1 \; {\color{Red}\rightarrow } \;\; 4+3= 1\;\;{\color{Red} \Rightarrow }\;\;7\neq 1\\
so\; 2\; is\;not\; solution\\\\
If \;x=3\\
\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;6.(3)+3=1 \; {\color{Red}\rightarrow } \;\; 2+3= 1\;\;{\color{Red} \Rightarrow }\;\;5\neq 1\\
so\; 3\; is\; not\; solution\\\\
If\; x=4\\
\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;6.(4)+3=1 \; {\color{Red}\rightarrow } \;\; 0+3= 1\;\;{\color{Red} \Rightarrow }\;\;3\neq 1\\
so\; 4 \;is\; not\; solution\\\\
If\; x=5\\
\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;6.(5)+3=1 \; {\color{Red}\rightarrow } \;\; 6+3= 1\;\;{\color{Red} \Rightarrow }\;\;1= 1\\
so\; 5 \;is\; SOLUTION\\\\
If\; x=6\\
\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;6.(6)+3=1 \; {\color{Red}\rightarrow } \;\; 4+3= 1\;\;{\color{Red} \Rightarrow }\;\;7\neq 1\\
so\; 6 \;is\; not\; solution\\\\
If\; x=7\\
\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;6.(7)+3=1 \; {\color{Red}\rightarrow } \;\; 2+3= 1\;\;{\color{Red} \Rightarrow }\;\;5\neq 1\\
so\; 7 \;is\; not\; solution\\\\
X=1 \;\;\;and\;\;\; X=5$
