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1. Find eigenvalues:
(A-$\lambda$I)$\vec{V}$=$\vec{0}$
$\begin{bmatrix} -1-\lambda & 0\\ 0 & -2-\lambda \end{bmatrix}\begin{bmatrix} v_1\\ v_2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0\\ 0 \end{bmatrix}$
$\begin{bmatrix} -1-\lambda & 0\\ 0 & -2-\lambda \end{bmatrix}=0$
$(-1- \lambda)(-2-\lambda)-36=0$
$\lambda_1=-1, \lambda_2=-2$
2. Find eigenvectors:
For $\lambda=-1$
let $B=A-\lambda_1I$
$B=\begin{bmatrix} -1-\lambda & 0\\ 0 & -2-\lambda \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} v_1\\ v_2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0\\ 0 \end{bmatrix} \\$
Let $r$ be a free variable.
$\vec{V}=r(1,0) \\
E_1=\{(1,0)\} \\
\rightarrow dim(E_2)=1$
The eigenvectors span $\{1,0)\}$ in $R$
For $\lambda=-2$
let $B=A-\lambda_1I$
$B=\begin{bmatrix} -1-\lambda & 0\\ 0 & -2-\lambda \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} v_1\\ v_2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0\\ 0 \end{bmatrix} \\$
Let $s$ be a free variable.
$\vec{V}=s(0,1) \\
E_1=\{(0,1)\} \\
\rightarrow dim(E_2)=1$
The eigenvectors span $\{0,1)\}$ in $R$
Hence, $S=\frac{1}{\sqrt 13}\begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{bmatrix} \\
\rightarrow S^{-1}AS=D=\begin{bmatrix} -1 & 0\\ 0 & -2 \end{bmatrix} $
