Answer
See below
Work Step by Step
1. Find eigenvalues:
(A-$\lambda$I)$\vec{V}$=$\vec{0}$
$\begin{bmatrix} 2-\lambda & -4 & 2 & 2 \\ -2 & 0-\lambda & 1 & 3\\ -2 & -2 & 3-\lambda & 3\\ -2 & -6 & 3 & 7-\lambda \end{bmatrix}\begin{bmatrix} v_1\\ v_2 \\ v_3 \\ v_4\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0\\ 0 \\0 \\ 0\end{bmatrix}$
$\begin{bmatrix} 2-\lambda & -4 & 2 & 2 \\ -2 & 0-\lambda & 1 & 3\\ -2 & -2 & 3-\lambda & 3\\ -2 & -6 & 3 & 7-\lambda \end{bmatrix}=0$
$( 2-\lambda)^2(4-\lambda)^2=0$
$\lambda_1=\lambda_2=2;\lambda_3=\lambda_4=4$
2. Find eigenvectors:
For $\lambda=2$
let $B=A-\lambda_1I$
$B=\begin{bmatrix} 2-\lambda & -4 & 2 & 2 \\ -2 & 0-\lambda & 1 & 3\\ -2 & -2 & 3-\lambda & 3\\ -2 & -6 & 3 & 7-\lambda \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0 & -4 & 2 & 2 \\ -2 & -2 & 1 & 3\\ -2 & -2 & 1 & 3\\ -2 & -6 & 3 & 5 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0 \\ 0\\ 0 \\0 \end{bmatrix} $
Let $r,s$ be free variables.
$\vec{V}=r(1,\frac{1}{2},1,0)+s(2,\frac{1}{2},0,1)\\
E_1=\{r(1,\frac{1}{2},1,0)+s(2,\frac{1}{2},0,1)\} \\
\rightarrow dim(E_2)=2$
For $\lambda=4$
let $B=A-\lambda_1I$
$B=\begin{bmatrix} 2-\lambda & -4 & 2 & 2 \\ -2 & 0-\lambda & 1 & 3\\ -2 & -2 & 3-\lambda & 3\\ -2 & -6 & 3 & 7-\lambda \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -2 & -4 & 2 & 2 \\ -2 & -4 & 1 & 3\\ -2 & -2 & -1 & 3\\ -2 & -6 & 3 & 3 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0\\ 0 \\0 \\ 0 \end{bmatrix} $
Let $r,s$ be free variables.
$\vec{V}=r(0,1,1,1)+s(1,0,0,1)\\
E_2=\{(0,1,1,1);(1,0,0,1)\} \\
\rightarrow dim(E_2)=2$
Hence, $S=\begin{bmatrix} 1& 2& 0 & 1\\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 1 & 0\\
1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \end{bmatrix}$
