Answer
See below
Work Step by Step
1. Find eigenvalues:
(A-$\lambda$I)$\vec{V}$=$\vec{0}$
$\begin{bmatrix} 1-\lambda & 1\\ -1 & 3-\lambda \end{bmatrix}\begin{bmatrix} v_1\\ v_2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0\\ 0 \end{bmatrix}$
$\begin{bmatrix} 1-\lambda & 1\\ -1 & 3-\lambda \end{bmatrix}=0$
$(1- \lambda)(3-\lambda)+1=0$
$\lambda_1= \lambda_2=2$
2. Find eigenvectors:
For $\lambda=2$
let $B=A-\lambda_1I$
$B=\begin{bmatrix} 1-\lambda & 1\\ -1 & 3-\lambda \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -1 & 1 \\ -1 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} v_1\\ v_2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0\\ 0 \end{bmatrix} \\$
Let $r,s$ be free variables.
$\vec{V}=r(1,1) +s(1,2)\\
E_1=\{(1,1);(1,2)\} \\
\rightarrow dim(E_2)=2$
Hence, $S=\begin{bmatrix} 1 & 1\\ 1 & 2 \end{bmatrix} \\
S=\begin{bmatrix} 2 & -1\\ -1 & 1 \end{bmatrix} \\
\rightarrow S^{-1}AS=D=\begin{bmatrix} 2 & 1\\ 0 & 2 \end{bmatrix} $
