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1. Find eigenvalues:
(A-$\lambda$I)$\vec{V}$=$\vec{0}$
$\begin{bmatrix} 1-\lambda & 1 &1\\ 0 & 1-\lambda & 1\\
0 & 1 & 1-\lambda \end{bmatrix}\begin{bmatrix} v_1\\ v_2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0\\ 0 \end{bmatrix}$
$\begin{bmatrix} 1-\lambda & 1 & 1\\ 1 & 1-\lambda & 1 \\
0 & 1 & 1-\lambda \end{bmatrix}=0$
$(1- \lambda)(2-\lambda)\lambda=0$
$\lambda_1=1 ,\lambda_2=2,\lambda_3=0$
2. Find eigenvectors:
For $\lambda=1$
let $B=A-\lambda_1I$
$B=\begin{bmatrix} 1-\lambda & 1 & 1\\ 1 & 1-\lambda & 1 \\
0 & 1 & 1-\lambda \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0\end{bmatrix}\begin{bmatrix} v_1\\ v_2 \\ v_3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0\\ 0 \\0 \end{bmatrix} $
Let $r$ be a free variable.
$\vec{V}=r(1,0,0)\\
E_1=\{(1,0,0)\} \\
\rightarrow dim(E_2)=1$
For $\lambda=2$
let $B=A-\lambda_1I$
$B=\begin{bmatrix} 1-\lambda & 1 & 1\\ 1 & 1-\lambda & 1 \\
0 & 1 & 1-\lambda \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -1 & 1 & 1 \\ 0 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} v_1\\ v_2 \\ v_3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0\\ 0 \\0 \end{bmatrix} $
Let $r$ be a free variable.
$\vec{V}=r(2,1,1)\\
E_1=\{(2,1,1)\} \\
\rightarrow dim(E_2)=1$
For $\lambda=0$
let $B=A-\lambda_1I$
$B=\begin{bmatrix} 1-\lambda & 1 & 1\\ 1 & 1-\lambda & 1 \\
0 & 1 & 1-\lambda \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1\end{bmatrix}\begin{bmatrix} v_1\\ v_2 \\ v_3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0\\ 0 \\0 \end{bmatrix} $
Let $r$ be a free variable.
$\vec{V}=r(0,1,-1)\\
E_1=\{(0,1,-1)\} \\
\rightarrow dim(E_2)=1$
Hence, $S=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 0\\ 0 & 1 & 1 \\
0 & 1 & -1 \end{bmatrix} \\
S^{-1}AS=D=\begin{bmatrix} 1 & 0& 0\\ 0 & 2 & 0 \\
0 & 0 & 0 \end{bmatrix} $
