Answer
See below
Work Step by Step
1. Find eigenvalues:
(A-$\lambda$I)$\vec{V}$=$\vec{0}$
$\begin{bmatrix} -6-\lambda & 1 & 0\\ -\frac{1}{2} & -\frac{9}{2}-\lambda & \frac{1}{2}\\
-\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & -\frac{11}{2}-\lambda \end{bmatrix}\begin{bmatrix} v_1\\ v_2 \\ v_3 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0\\ 0 \\0 \end{bmatrix}$
$\begin{bmatrix} -6-\lambda & 1 & 0\\ -\frac{1}{2} & -\frac{9}{2}-\lambda & \frac{1}{2}\\
-\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & -\frac{11}{2}-\lambda \end{bmatrix}=0$
$(6+ \lambda)(\lambda+5)^2=0$
$\lambda_1=-6,\lambda_2=\lambda_3=-5$
2. Find eigenvectors:
For $\lambda=-5$
let $B=A-\lambda_1I$
$B=\begin{bmatrix} -6-\lambda & 1 & 0\\ -\frac{1}{2} & -\frac{9}{2}-\lambda & \frac{1}{2}\\
-\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & -\frac{11}{2}-\lambda \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -1 & 1 & 0\\ -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2}\\
-\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & -\frac{1}{2}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0\\ 0 \\0 \end{bmatrix} $
Let $r,s$ be free variables.
$\vec{V}=r(1,1,0)+s(0,1,1)\\
E_1=\{(1,1,0);(0,1,1)\} \\
\rightarrow dim(E_2)=2$
For $\lambda=-6$
let $B=A-\lambda_1I$
$B=\begin{bmatrix} -6-\lambda & 1 & 0\\ -\frac{1}{2} & -\frac{9}{2}-\lambda & \frac{1}{2}\\
-\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & -\frac{11}{2}-\lambda \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -1 & 1 & 0\\ -\frac{1}{2} & \frac{3}{2} & \frac{1}{2}\\
-\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 0\\ 0 \\0 \end{bmatrix} $
Let $r$ be a free variable.
$\vec{V}=r(1,0,1)\\
E_1=\{(1,0,1)\} \\
\rightarrow dim(E_2)=1$
Hence, $S=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 1\\ 1 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 1 \end{bmatrix} \\
\rightarrow S^{-1}AS=D=\begin{bmatrix} -5 & 1 & 0\\ 0 & -5 & 0\\0 & 0 & -6 \end{bmatrix} $
