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1. Find eigenvalues:
(A-$\lambda$I)$\vec{V}$=$\vec{0}$
$\begin{bmatrix} 4-\lambda & 4\\ -4 & 12-\lambda \end{bmatrix}\begin{bmatrix} v_1\\ v_2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0\\ 0 \end{bmatrix}$
$\begin{bmatrix} 4-\lambda & 4\\ -4 & 12-\lambda \end{bmatrix}=0$
$(4- \lambda)(12-\lambda)+16=0$
$\lambda_1= \lambda_2=8$
2. Find eigenvectors:
For $\lambda=8$
let $B=A-\lambda_1I$
$B=\begin{bmatrix} 4-\lambda & 4\\ -4 & 12-\lambda \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -4 & 4 \\ -4 & 4 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} v_1\\ v_2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0\\ 0 \end{bmatrix} \\$
Let $r,s$ be free variables.
$\vec{V}=r(1,0) +s(-\frac{1}{4},0)\\
E_1=\{(1,1);(-\frac{1}{4},0)\} \\
\rightarrow dim(E_2)=2$
Hence, $S=\begin{bmatrix} 1 & -\frac{1}{4}\\ 1 & 0 \end{bmatrix} \\
S=4\begin{bmatrix} 0 & \frac{1}{4}\\ -1 & 1 \end{bmatrix} \\
\rightarrow S^{-1}AS=D=\begin{bmatrix} 8 & 1\\ 0 & 8 \end{bmatrix} $
